Cómo encontrar el ángulo entre dos vectores: 12 pasos

En matemáticas, un vector es cualquier objeto que tenga una longitud definible, conocida como magnitud y dirección. Dado que los vectores no son lo mismo que las líneas o las formas estándar, deberá usar algunas fórmulas especiales para encontrar ángulos entre ellos.

Pasos

Parte 1 de 2:

Encontrar el ángulo entre dos vectores

1. Escribe la fórmula de coseno. Para encontrar el ángulo θ entre dos vectores, comience con la fórmula para encontrar el coseno del ángulo. Puede aprender sobre esta fórmula a continuación, o simplemente escribirlo:

cosθ = ( $\vec{U}$ ${ sbourighprow {u}}$ • $\vec{v}$ ${ scroplightrow {v}}$ ) / (|| $\vec{U}$ ${ sbourighprow {u}}$ || || $\vec{v}$ ${ scroplightrow {v}}$ ||)

\vec{U}

${ sbourighprow {u}}$ || medio "la longitud del vector

\vec{U}

${ sbourighprow {u}}$ ."

\vec{U}

${ sbourighprow {u}}$ •

\vec{v}

${ scroplightrow {v}}$ es el producto DOT (producto escalar) de los dos vectores, explicado a continuación.

Imagen titulada Encuentra el ángulo entre dos vectores Paso 1

2. Identificar los vectores. Anote toda la información que tiene con respecto a los dos vectores. Asumiremos que solo tiene la definición del vector en términos de sus coordenadas dimensionales (también llamadas componentes). Si ya conoce la longitud de un vector (su magnitud), podrás omitir algunos de los pasos a continuación.

Ejemplo: el vector bidimensional

\vec{U}

${ sbourighprow {u}}$ = (2,2). Vector

\vec{v}

${ scroplightrow {v}}$ = (0,3). Estos también pueden ser escritos como

\vec{U}

${ sbourighprow {u}}$ = 2I + 2j y

\vec{v}

${ scroplightrow {v}}$ = 0I + 3j = 3j.

Si bien nuestro ejemplo utiliza vectores bidimensionales, las instrucciones a continuación cubren los vectores con cualquier número de componentes.

Imagen titulada Buscar el ángulo entre dos vectores Paso 3

3. Calcular la longitud de cada vector. Imagine un triángulo derecho extraído del componente X del vector, su componente Y y el vector mismo. El vector forma la hipotenusa del triángulo, por lo que para encontrar su longitud utilizamos el teorema de Pitágoras. Como resultado, esta fórmula se extiende fácilmente a los vectores con cualquier número de componentes.

||U|| = u₁ + U₂. Si un vector tiene más de dos componentes, simplemente continúe agregando + U₃ + U₄ + ...

Por lo tanto, para un vector bidimensional, ||U|| = √ (u₁ + U₂).

En nuestro ejemplo, ||

\vec{U}

${ sbourighprow {u}}$ || = √ (2 + 2) = √ (8) = 2√2. ||

\vec{v}

${ scroplightrow {v}}$ || = √ (0 + 3) = √ (9) = 3.

Imagen titulada Buscar el ángulo entre dos vectores Paso 4

4. Calcule el producto DOT de los dos vectores. Probablemente ya ha aprendido este método de multiplicar los vectores, también llamado producto escalar.

Para calcular el producto DOT en términos de los componentes de los vectores, multiplique los componentes en cada dirección juntos, luego agregue todos los resultados.

Para programas de gráficos de computadora, consulte los consejos antes de continuar.

Finding Dot Product Ejemplo
En términos matemáticos, $\vec{U}$ ${ sbourighprow {u}}$ • $\vec{v}$ ${ scroplightrow {v}}$ = u₁v₁ + U₂v₂, donde u = (u₁, U₂). Si su vector tiene más de dos componentes, simplemente continúe agregando + U₃v₃ + U₄v₄...
En nuestro ejemplo, $\vec{U}$ ${ sbourighprow {u}}$ • $\vec{v}$ ${ scroplightrow {v}}$ = u₁v₁ + U₂v₂ = (2) (0) + (2) (3) = 0 + 6 = 6. Este es el producto DOT de vector $\vec{U}$ ${ sbourighprow {u}}$ y $\vec{v}$ ${ scroplightrow {v}}$ .

Imagen titulada Buscar el ángulo entre dos vectores Paso 5

5. Conecte sus resultados a la fórmula. Recuerda,

cosθ = (

\vec{U}

${ sbourighprow {u}}$ •

\vec{v}

${ scroplightrow {v}}$ ) / (||

\vec{U}

${ sbourighprow {u}}$ || ||

\vec{v}

${ scroplightrow {v}}$ ||).

Ahora sabes tanto el producto de puntos como las longitudes de cada vector. Ingrese estos en esta fórmula para calcular el coseno del ángulo.

Encontrar coseno con producto de punto y longitudes de vectores
En nuestro ejemplo, cosθ = 6 / (2√2

3) = 1 / √2 = √2 / 2.

Imagen titulada Buscar el ángulo entre dos vectores Paso 6

6. Encuentra el ángulo basado en el cosine. Puede usar la función Arccos o COS en su calculadora para

Encuentra el ángulo θ de un valor conocido de COS θ.

Para algunos resultados, es posible que pueda resolver el ángulo en función de la circulo unitario.

Encontrar un ángulo con coseno
En nuestro ejemplo, cosθ = √2 / 2. Ingresar "Arccos (√2 / 2)" en tu calculadora para conseguir el ángulo. Alternativamente, encuentre el ángulo θ en el círculo de la unidad donde cosθ = √2 / 2. Esto es cierto para θ = /₄ o 45º.
Poniéndolo todo junto, la fórmula final es:
ángulo θ = arccosina (( $\vec{U}$ ${ sbourighprow {u}}$ • $\vec{v}$ ${ scroplightrow {v}}$ ) / (|| $\vec{U}$ ${ sbourighprow {u}}$ || || $\vec{v}$ ${ scroplightrow {v}}$ ||))

Parte 2 de 2:

Definiendo la fórmula de ángulo

1. Entender el propósito de esta fórmula. Esta fórmula no se derivó de las reglas existentes. En su lugar, se creó como una definición de producto de dos vectores y el ángulo entre ellos. Sin embargo, esta decisión no fue arbitraria. Con una mirada atrás a la geometría básica, podemos ver por qué esta fórmula resulta en definiciones intuitivas y útiles.

Los ejemplos a continuación utilizan vectores bidimensionales porque estos son los más intuitivos de usar. Los vectores con tres o más componentes tienen propiedades definidas con la fórmula de caso general y similar.

Imagen titulada Buscar el ángulo entre dos vectores Paso 8

2. Revise la ley de los cosines. Tomar un triángulo ordinario, con ángulo θ entre lados A y B, y lado opuesto c. La Ley de los Cosines establece que C = A + B-2ABcos(θ). Esto se deriva bastante fácilmente de la geometría básica.

Imagen titulada Buscar el ángulo entre dos vectores Paso 9

3. Conecta dos vectores para formar un triángulo. Dibuje un par de vectores 2D en papel, vectores

\vec{a}

${ scroplightrow {a}}$ y

\vec{B}

${ scroplightrow {b}}$ , con ángulo θ entre ellos. Dibuja un tercer vector entre ellos para hacer un triángulo. En otras palabras, dibujar vector

\vec{C}

${ scroplightwarrow {c}}$ tal que

\vec{B}

${ scroplightrow {b}}$ +

\vec{C}

${ scroplightwarrow {c}}$ =

\vec{a}

${ scroplightrow {a}}$ . Este vector

\vec{C}

${ scroplightwarrow {c}}$ =

\vec{a}

${ scroplightrow {a}}$ -

\vec{B}

${ scroplightrow {b}}$ .

Imagen titulada Buscar el ángulo entre dos vectores Paso 10

4. Escribe la ley de los cosuses para este triángulo. Inserte la longitud de nuestro "triángulo vector" Lados en la ley de los cosuses:

||(a - b)|| = ||a|| + ||B|| - 2||a|| ||B||cos(θ)

Imagen titulada Buscar el ángulo entre dos vectores Paso 11

5. Escribe esto usando productos DOT. Recuerde, un producto DOT es la ampliación de un vector proyectado en otro. El producto DOT de un vector con sí mismo no requiere ninguna proyección, ya que no hay diferencia en la dirección. Esto significa que

\vec{a}

${ scroplightrow {a}}$ •

\vec{a}

${ scroplightrow {a}}$ = ||a||. Usa este hecho para reescribir la ecuación:

(

\vec{a}

${ scroplightrow {a}}$ -

\vec{B}

${ scroplightrow {b}}$ •

\vec{a}

${ scroplightrow {a}}$ -

\vec{B}

${ scroplightrow {b}}$ )

\vec{a}

${ scroplightrow {a}}$ •

\vec{a}

${ scroplightrow {a}}$ +

\vec{B}

${ scroplightrow {b}}$ •

\vec{B}

${ scroplightrow {b}}$ - 2||a|| ||B||cos(θ)

Imagen titulada Buscar el ángulo entre dos vectores Paso 12

6. Reescribirlo en la fórmula familiar. Expanda el lado izquierdo de la fórmula, luego se simplifica para alcanzar la fórmula utilizada para encontrar ángulos.

\vec{a}

${ scroplightrow {a}}$ •

\vec{a}

${ scroplightrow {a}}$ -

\vec{a}

${ scroplightrow {a}}$ •

\vec{B}

${ scroplightrow {b}}$ -

\vec{B}

${ scroplightrow {b}}$ •

\vec{a}

${ scroplightrow {a}}$ +

\vec{B}

${ scroplightrow {b}}$ •

\vec{B}

${ scroplightrow {b}}$ =

\vec{a}

${ scroplightrow {a}}$ •

\vec{a}

${ scroplightrow {a}}$ +

\vec{B}

${ scroplightrow {b}}$ •

\vec{B}

${ scroplightrow {b}}$ - 2||a|| ||B||cos(θ)

\vec{a}

${ scroplightrow {a}}$ •

\vec{B}

${ scroplightrow {b}}$ -

\vec{B}

${ scroplightrow {b}}$ •

\vec{a}

${ scroplightrow {a}}$ = -2||a|| ||B||cos(θ)

-2 (

\vec{a}

${ scroplightrow {a}}$ •

\vec{B}

${ scroplightrow {b}}$ ) = -2||a|| ||B||cos(θ)

\vec{a}

${ scroplightrow {a}}$ •

\vec{B}

${ scroplightrow {b}}$ = ||a|| ||B||cos(θ)

Video.

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Consejos

Para un enchufe rápido y resolver, use esta fórmula para cualquier par de vectores bidimensionales: cosθ = (u₁ • v₁ + U₂ • v₂) / (√ (u₁ • u₂) • √ (v₁ • v₂)).

Si está trabajando en un programa de gráficos de computadora, es más probable que solo se preocupe por la dirección de los vectores, no su longitud. Tome estos pasos para simplificar las ecuaciones y acelerar su programa:

Normaliza cada vector así que la longitud se convierte en 1. Para hacer esto, divida cada componente del vector por la longitud del vector.

Tome el producto DOT de los vectores normalizados en lugar de los vectores originales.

Dado que la longitud sea igual a 1, deje los términos de longitud de su ecuación. Su ecuación final para el ángulo es Arccos (

\vec{U}

${ sbourighprow {u}}$ •

\vec{v}

${ scroplightrow {v}}$ ).

Basado en la fórmula de coseno, podemos encontrar rápidamente si el ángulo es agudo u obtuso. Empezar con cosθ = (

\vec{U}

${ sbourighprow {u}}$ •

\vec{v}

${ scroplightrow {v}}$ ) / (||

\vec{U}

${ sbourighprow {u}}$ || ||

\vec{v}

${ scroplightrow {v}}$ ||)

El lado izquierdo y los lados derecho de la ecuación deben tener el mismo signo (positivo o negativo).

Dado que las longitudes son siempre positivas, COSθ debe tener el mismo signo que el producto DOT.

Por lo tanto, si el producto DOT es positivo, COSθ es positivo. Estamos en el primer cuadrante del círculo de la unidad, con θ < π / 2 o 90º. El ángulo es agudo.

Si el producto DOT es negativo, COSON es negativo. Estamos en el segundo cuadrante del círculo de la unidad, con π / 2 < θ ≤ π o 90º < θ ≤ 180º. El ángulo es obtuso.