Cómo encontrar el área de un cuadrado usando la longitud de su diagonal

La fórmula más común para el área de un cuadrado es simple: es la longitud del lado cuadrado, o s. Pero a veces solo sabes la longitud de la diagonal del cuadrado, corriendo entre vértices opuestos. Si ha estudiado triángulos correctos, puede encontrar una nueva fórmula de área que use esta diagonal como su única variable.

Pasos

Parte 1 de 2:

Encontrar el área de la diagonal

1. Dibuja tu plaza. Un cuadrado tiene cuatro lados iguales. Digamos que cada uno tiene una longitud de "s".

Imagen titulada Encuentra el área de un cuadrado usando la longitud de su etapa diagonal 4

2. Revise la fórmula básica para el área de un cuadrado. El área de un cuadrado es igual a su longitud de tiempo su ancho. Dado que cada lado es s, La fórmula es Área = s x s = s. Esto será útil más tarde en.

Encuentre el área de un cuadrado usando la longitud de su Paso Diagonal 5

3. Únete a cualquiera de las dos esquinas opuestas para hacer una diagonal. Deja que la medida de esta diagonal sea D unidades. Esta diagonal divide la plaza en dos triángulos derechistas.

Imagen titulada Encuentre el área de un cuadrado usando la longitud de su Paso Diagonal 6

Aplicar el teorema de Pitágoras a uno de los triángulos. El teorema de Pitágoras es una fórmula para encontrar la hipotenusa (lado más largo) de un triángulo derecho: (lado uno) + (lado dos) = (hipotenusa), o

a 2 + B^{2} = C^{2}

$a ^ {2} + b ^ {2} = C ^ {2}$ . Ahora que el cuadrado se divide por la mitad, puede usar esta fórmula en uno de los triángulos adecuados:

Los dos lados más cortos del triángulo son los lados de la plaza: cada uno tiene una longitud de s.

La hipotenusa es la diagonal de la plaza, D.

s 2 + s^{2} = D^{2}

$s ^ {2} + s ^ {2} = D ^ {2}$

Encuentre el área de un cuadrado usando la longitud de su Paso Diagonal 7

5. Organizar la ecuación, así que S está en un lado. Recuerda que ya sabemos que el área de la plaza es igual a s. Si puede obtener solo en un lado, tendrá una nueva ecuación para el área:

s 2 + s^{2} = D^{2}

$s ^ {2} + s ^ {2} = D ^ {2}$

Simplificar:

2 s 2 = D^{2}

$2s ^ {2} = D ^ {2}$

Divide ambos lados por dos:

s 2 = D 22

$s ^ {2} = { frac {d ^ {2}} {2}}$

Área =

s 2 = D 22

$s ^ {2} = { frac {d ^ {2}} {2}}$

Área =

D 22

${ frac {d ^ {2}} {2}}$

Imagen titulada Encuentre el área de un cuadrado usando la longitud de su Paso Diagonal 9

6. Usa esta fórmula en un ejemplo cuadrado. Estos pasos han demostrado que el área de fórmula =

D 22

${ frac {d ^ {2}} {2}}$ Funciona para todos los cuadrados. Simplemente enchufe la duración de la diagonal para D y resolver.

Por ejemplo, digamos que un cuadrado tiene una diagonal que mide 10 cm.

Área =

1022

${ frac {10 ^ {2}} {2}}$
=

\frac{100}{2}

${ frac {100} {2}}$
= 50 centímetros cuadrados.

Parte 2 de 2:

Información adicional

1. Encuentra la diagonal desde la longitud de un lado. El teorema de Pitágoras por un cuadrado con un lado s y diagonal D te da la fórmula

2 s 2 = D^{2}

$2s ^ {2} = D ^ {2}$ . Resuelve para D Si conoce las longitudes laterales y desea encontrar la duración de la diagonal:

$2 s 2 = D^{2}$ $2s ^ {2} = D ^ {2}$
$\sqrt{2 s} 2 = \sqrt{D} 2$ ${ sqrt {2s ^ {2}}} = { sqrt {d ^ {2}}}}$
$s \sqrt{2} = D$ $s { sqrt {2}} = d$
Por ejemplo, si un cuadrado tiene lados de 7 pulgadas, su diagonal D = 7√2 pulgadas, o alrededor de 9.9 pulgadas.
Si no tiene una calculadora, puede usar 1.4 como una estimación para √2.

2. Encuentra la longitud lateral de la diagonal. Si le dan la diagonal y usted sabe que la diagonal de un cuadrado es

s \sqrt{2}

$s { sqrt {2}}$ , Puedes dividir ambos lados por

\sqrt{2}

${ sqrt {2}}$ Llegar

s = \frac{D}{\sqrt{2}}

$s = { frac {d} {{ sqrt {2}}}}$ .

Por ejemplo, un cuadrado con una diagonal de 10 cm tiene lados con longitud

\frac{10}{\sqrt{2}} = 7.071

${ frac {10} {{ sqrt {2}}}} = 7.071$ cm.

Si necesita encontrar la longitud lateral y el área de la diagonal, primero puede usar esta fórmula, luego, luego, rápidamente, la respuesta para obtener el área: Área

= s 2 = {7.071}^{2} = 50

$= S ^ {2} = 7.071 ^ {2} = 50$ centímetros cuadrados. Esto es un poco menos preciso, ya que

\sqrt{2}

${ sqrt {2}}$ Es un número irracional que puede llevar a errores de redondeo.

3. Interpretar la fórmula de la zona. Las matemáticas se comprometen al área de fórmula =

D 22

${ frac {d ^ {2}} {2}}$ , Pero hay una manera de probar esto directamente? Bien,

D 2

$d ^ {2}$ Es el área de un segundo cuadrado con la diagonal como un lado. Dado que la fórmula completa es

D 22

${ frac {d ^ {2}} {2}}$ , Puede razonar que esta segunda plaza tiene exactamente el doble del área del cuadrado original. Puedes probar esto tú mismo:

Dibuja un cuadrado en un pedazo de papel. Asegúrate de que todos los lados sean iguales.

Medir la diagonal. Dibuja un segundo cuadrado usando esa medida como la longitud del cuadrado.

Trace una copia de su primer cuadrado para que tenga dos de ellos. Cortar los tres cuadrados.

Corte los dos cuadrados más pequeños en cualquier forma para que pueda arreglarlos para que se ajusten dentro del cuadrado grande. Deben llenar el espacio perfectamente, demostrando que el área del cuadrado más grande es exactamente el doble del área del cuadrado más pequeño.

Video.

Al utilizar este servicio, se puede compartir información con YouTube.

Consejos

Esta sencilla ecuación se usa en muchos campos, incluida la cristalografía, la química y el arte. Por ejemplo, puede usarlo para calcular el área del paisaje que puede ver al examinar, o cuando se usa la perspectiva en la fotografía o la pintura, midiendo la distancia que ha caminado e imaginando una cuadrícula con esa distancia como diagonal.

Si prefiere un enfoque más visual para las matemáticas, o desea aprender a usar gráficos y gráficos en el arte, explore la ruta de partículas de giro en espiral, o explore los artículos en Categoría: Microsoft Excel Imagery, Categoría: Matemáticas, Categoría: Hojas de cálculo o Categoría: Gráficos.

Si no tiene una calculadora y necesita una estimación más precisa para la raíz cuadrada de 2, hay formas de estimarlo a mano. El método Newton-Raphson es un ejemplo.