4 maneras de encontrar cualquier término de una secuencia aritmética

Una secuencia aritmética es cualquier lista de números que difieren, de uno a otro, por una cantidad constante. Por ejemplo, la lista de números pares, $0, 2, 4, 6, 8$ $0,2,4,6,8$ ... es una secuencia aritmética, porque la diferencia de un número en la lista a la siguiente es siempre 2. Si sabe que está trabajando con una secuencia aritmética, se le puede pedir que encuentre el siguiente término de una lista determinada. También se le puede pedir que llene un espacio donde falta un término. Finalmente, es posible que desee saber, por ejemplo, el término 100, sin realmente escribir los 100 términos. Algunos pasos simples pueden ayudarlo a hacer alguno de estos.

Pasos

Método 1 de 4:

Encontrar el siguiente término en una secuencia aritmética

1. Encuentra la diferencia común para la secuencia. Cuando se le presentan una lista de números, se le puede decir que la lista es una secuencia aritmética, o es posible que deba resolverlo para usted. El primer paso es el mismo en cualquier caso. Seleccione los dos primeros términos consecutivos en la lista. Restar el primer término desde el segundo término. El resultado es la diferencia común de su secuencia.

Por ejemplo, supongamos que tienes la lista $1, 4, 7, 10, 13$ $1,4,7,10,13$ .... Sustraer $4 - 1$ $4-1$ Para encontrar la diferencia común de 3.
Supongamos que tiene una lista de términos que disminuyen, como $25, 21, 17, 13$ $25,21,17,13$ ... Aún restes el primer término desde el segundo para encontrar la diferencia. En este caso, eso te da $21 - 25 = - 4$ $21-25 = -4$ . El resultado negativo significa que su lista está disminuyendo a medida que lees de izquierda a derecha. Siempre debe verificar que el signo de la diferencia coincida con la dirección en la que los números parecen estar yendo.

Imagen titulada Buscar cualquier término de una secuencia aritmética Paso 2

2. Compruebe que la diferencia común es consistente. Encontrar la diferencia común para los dos primeros términos no asegura que su lista sea una secuencia aritmética. Debe asegurarse de que la diferencia sea consistente para toda la lista. Compruebe la diferencia restando dos términos consecutivos diferentes en la lista. Si el resultado es consistente para uno o dos otros pares de términos, entonces probablemente tenga una secuencia aritmética.

Trabajando con el mismo ejemplo,

1, 4, 7, 10, 13

$1,4,7,10,13$ ... Elija el segundo y tercer términos de la lista. Sustraer

7 - 4

$7-4$ , y encuentras que la diferencia sigue siendo 3. Para confirmar, marque un ejemplo más y reste

13 - 10

$13-10$ , y encuentras que la diferencia es consistentemente 3. Puedes estar bastante seguro de que estás trabajando con una secuencia aritmética.

Es posible que una lista de números parezca que es una secuencia aritmética basada en los primeros términos, pero luego falla después de eso. Por ejemplo, considera la lista

1, 2, 3, 6, 9

$1,2,3,6,9$ ... La diferencia entre el primer y segundo términos es 1, y la diferencia entre el segundo y tercer términos también es 1. Sin embargo, la diferencia entre los términos tercero y cuarto es 3. Debido a que la diferencia no es común para toda la lista, entonces esta no es una secuencia aritmética.

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3. Agregue la diferencia común al último término dado. Encontrar el siguiente término de una secuencia aritmética después de saber que la diferencia común es fácil. Simplemente agregue la diferencia común al último término de la lista, y obtendrá el siguiente número.

Por ejemplo, en el ejemplo de

1, 4, 7, 10, 13

$1,4,7,10,13$ ..., para encontrar el siguiente número en la lista, agregue la diferencia común de 3 al último término dado. Añadido

13 + 3

$13 + 3$ resultados en 16, que es el próximo término. Puedes continuar agregando 3 para hacer tu lista siempre y cuando quieras. Por ejemplo, la lista sería

1, 4, 7, 10, 13, dieciséis, 19, 22, 25

$1,4,7,10,13,16,19,22,25$ ... Puedes hacer esto siempre y cuando quieras.

Método 2 de 4:

Encontrar un término interno perdido

1. Verifique que esté comenzando con una secuencia aritmética. En algunos casos, puede tener una lista de números con un término que falta en el medio. Comience, como antes, marcando que su lista sea una secuencia aritmética. Seleccione cualquiera de los dos Términos consecutivos y encuentre la diferencia entre ellos. Luego, compruebe esto contra otros dos términos consecutivos en la lista. Si las diferencias son las mismas, puede suponer que está trabajando con una secuencia aritmética y continúe.

Por ejemplo, supongamos que tienes la lista $0, 4$ $0,4$ ,___, $12, dieciséis, 20$ $12,16,20$ ... Comenzar restando $4 - 0$ $4-0$ para encontrar una diferencia de 4. Compruebe esto contra otros dos términos consecutivos, como $dieciséis - 12$ $16-12$ . La diferencia es de nuevo 4. Puedes proceder.

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2. Añadir la diferencia común al término antes del espacio. Esto es similar a agregar un término al final de una secuencia. Encuentra el término que inmediatamente precede al espacio en su secuencia. Este es el número "Último" que conoce. Agregue su diferencia común a este término, para encontrar el número que debe completar el espacio.

En nuestro ejemplo de trabajo,

0, 4

$0,4$ ,____,

12, dieciséis, 20

$12,16,20$ ..., el término que precede al espacio es de 4, y nuestra diferencia común para esta lista también es 4. Así que agregue

4 + 4

$4 + 4$ para obtener 8, que debe ser el número en el espacio en blanco.

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3. Restar la diferencia común desde el término siguiendo el espacio. Para asegurarse de que tiene la respuesta correcta, verifique desde la otra dirección. Una secuencia aritmética debe ser consistente en cualquier dirección. Si se mueve de izquierda a derecha y agrega 4, luego vaya en la dirección opuesta, de derecha a izquierda, haría lo contrario y restaría 4.

En el ejemplo de trabajo,

0, 4

$0,4$ ,___,

12, dieciséis, 20

$12,16,20$ ..., el término inmediatamente después del espacio es 12. Restar la diferencia común de 4 de este término para encontrar

12 - 4 = 8

$12-4 = 8$ . El resultado de 8 debe completar el espacio en blanco.

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4. Compara tus resultados. Los dos resultados que obtienes, desde sumar desde la parte inferior o de restarte desde la parte superior deben coincidir. Si lo hacen, entonces ha encontrado el valor para el término que falta. Si no lo hacen, entonces necesitas revisar tu trabajo. Es posible que no tenga una verdadera secuencia aritmética.

En el ejemplo de trabajo, los dos resultados de

4 + 4

$4 + 4$ y

12 - 4

$12-4$ Ambos dieron la solución de 8. Por lo tanto, el término que falta en esta secuencia aritmética es 8. La secuencia completa es

0, 4, 8, 12, dieciséis, 20

$0,4,8,12,16,20$ ...

Método 3 de 4:

Encontrar el nth término de una secuencia aritmética

1. Identificar el primer término de la secuencia. No todas las secuencias comienzan con los números 0 o 1. Mira la lista de números que tienes y encuentra el primer término. Este es su punto de partida, que se puede designar utilizando variables como un (1).

Es común al trabajar con secuencias aritméticas para usar la variable A (1) para designar el primer término de una secuencia. Puede, por supuesto, elegir cualquier variable que le guste, y los resultados deben ser los mismos.
Por ejemplo, dada la secuencia $3, 8, 13, 18$ $3,8,13,18$ ..., el primer término es $3$ $3$ , que puede ser designado algebraicamente como un (1).

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2. Defina tu diferencia común como D. Encuentra la diferencia común para la secuencia como antes. En este ejemplo de trabajo, la diferencia común es

8 - 3

$8-3$ , que es 5. Comprobar con otros términos en la secuencia proporciona el mismo resultado. Notaremos esta diferencia común con la variable algebraica D.

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3. Usa la fórmula explícita. Una fórmula explícita es una ecuación algebraica que puede usar para encontrar cualquier término de una secuencia aritmética, sin tener que escribir la lista completa. La fórmula explícita para una secuencia algebraica es

a (norte) = a (1) + (norte - 1) D

$a (n) = a (1) + (n-1) D$ .

El término A (n) se puede leer como "el término NTH de A", donde N representa qué número en la lista desea encontrar y un (n) es el valor real de ese número. Por ejemplo, si se le pide que encuentre el número 100 en una secuencia aritmética, entonces n será 100. Tenga en cuenta que n es 100, en este ejemplo, pero A (N) será el valor del 100º término, no el número 100 en sí.

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4. Rellene su información para resolver el problema. Usando la fórmula explícita para su secuencia, complete la información que conoce para encontrar el término que necesita.

Por ejemplo, en el ejemplo de trabajo

3, 8, 13, 18

$3,8,13,18$ ..., sabemos que A (1) es el primer término 3, y la diferencia común D es 5. Supongamos que se le pide que encuentre el término 100 en esa secuencia. Luego n = 100, y (n-1) = 99. La fórmula explícita completa, con los datos completados, es entonces

a (100) = 3 + (99) (5)

$A (100) = 3 + (99) (5)$ . Esto se simplifica a 498, que es el término 100 de esa secuencia.

Método 4 de 4:

Utilizando la fórmula explícita para encontrar información adicional

1. Reorganizar la fórmula explícita para resolver para otras variables. Usando la fórmula explícita y algún álgebra básico, puede encontrar varias piezas de información sobre una secuencia aritmética. En su forma original,

a (norte) = a (1) + (norte - 1) D

$a (n) = a (1) + (n-1) D$ , La fórmula explícita está diseñada para resolver para un_norte y darte el nth término de una secuencia. Sin embargo, puede manipular algebraicamente esta fórmula y resolverlo por cualquiera de las variables.

Por ejemplo, supongamos que tiene el final de una lista de números, pero necesita saber cuál era el comienzo de la secuencia. Puedes reorganizar la fórmula para darte $a (1) = a (norte) - (norte - 1) D$ ${ DisplayStyle A (1) = A (N) - (N-1) D}$
Si conoce el punto de partida de una secuencia aritmética y su punto final, pero debe saber cuántos términos están en la lista, puede reorganizar la fórmula explícita para resolver para n. Esto sería $norte = a (norte) - a (1) D + 1$ $n = { frac {a (n) -a (1)} {d}} + 1$ .
Si necesita revisar las reglas básicas de Álgebra para crear este resultado, eche un vistazo Aprender algebra o Simplificar expresiones algebraicas.

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2. Encuentra el primer término de una secuencia. Puede saber que el 50º período de una secuencia aritmética es de 300, y usted sabe que los términos han estado aumentando en 7 (la "diferencia común"), pero desea descubrir cuál fue el primer término de la secuencia. Use la fórmula explícita revisada que se resuelva para A1 para encontrar su respuesta.

Usa la ecuación

a (1) = (norte - 1) D - a (norte)

$A (1) = (N-1) D-A (n)$ , y llena la información que conoces. Ya que usted sabe que el término 50 es 300, luego N = 50, N-1 = 49 y A (N) = 300. También se le da la diferencia común, D, es 7. Por lo tanto, la fórmula se convierte en

a (1) = (49) (7) - 300

$A (1) = (49) (7) -300$ . Esto funciona a

343 - 300 = 43

$343-300 = 43$ . La secuencia que ha comenzado a las 43, y contado por 7. Por lo tanto, parece 43,50,57,64,71,78 ... 293,300.

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3. Encontrar la longitud de una secuencia. Supongamos que usted conoce todo sobre el inicio y el final de una secuencia aritmética, pero necesita descubrir cuánto tiempo es. Usa la fórmula revisada

norte = a (norte) - a (1) D + 1

$n = { frac {a (n) -a (1)} {d}} + 1$ .

Supongamos que usted sabe que una secuencia aritmética dada comienza a 100 y aumenta por 13. También se le dice que el término final es 2.856. Para encontrar la longitud de la secuencia, use los términos A1 = 100, D = 13, y A (N) = 2856. Inserte estos términos en la fórmula para dar

norte = 2856 - 100 13 + 1

$n = { frac {2856-100} {13}} + 1$ . Si trabajas esto, obtienes

norte = \frac{2756}{13} + 1

$n = { frac {2756} {13}} + 1$ , que es igual a 212 + 1, que es 213. Hay 213 términos en esa secuencia.

Esta secuencia de muestra se vería como 100, 113, 126, 139 ... 2843, 2856.

Advertencias

Hay diferentes tipos de secuencias de números. No asuma que una lista de números es una secuencia aritmética. Siempre revise al menos dos pares de términos, o preferiblemente tres o cuatro, para encontrar la diferencia común entre los términos.

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Consejos

Recuérdalo D puede ser positivo o negativo, dependiendo de si se está agregando o restó.