Cómo diferenciar las funciones exponenciales

Las funciones exponenciales son una categoría especial de funciones que involucran exponentes que son variables o funciones. Usando algunas de las reglas básicas de cálculo, puede comenzar al encontrar la derivada de las funciones básicas como $a X$ $a ^ {x}$ . Esto proporciona una forma que puede usar para cualquier base numérica elevada a un exponente variable. Ampliando este trabajo, también puede encontrar la derivada de las funciones donde el exponente es en sí misma una función. Finalmente, verá cómo diferenciar la "Torre de potencia", una función especial en la que el exponente coincide con la base.

Pasos

Parte 1 de 4:

Diferenciación de funciones exponenciales generales

1. Comienza con una función general exponencial. Comience con una función exponencial básica usando una variable como la base. Al calcular la derivada de la función general de esta manera, puede usar la solución como modelo para una familia completa de funciones similares.

$y = a X$ $y = a ^ {{x}}$

2. Toma el logaritmo natural de ambos lados. Necesita manipular la función para ayudar a encontrar un derivado estándar en términos de la variable

X

$X$ . Esto comienza tomando el logaritmo natural de ambos lados, de la siguiente manera:

\ln y = \ln a X

$ln y = ln a ^ {{x}}$

3. Eliminar el exponente. Usando las reglas de logaritmos, esta ecuación se puede simplificar para eliminar el exponente. El exponente dentro de la función de logaritmo se puede eliminar como un múltiplo frente al logaritmo, de la siguiente manera:

\ln y = X \ln a

$ln y = x ln a$

4. Diferenciar ambos lados y simplificar. El siguiente paso es diferenciar cada lado con respecto a

X

$X$ . Porque

a

$a$ es una constante, entonces

\ln a

$ln a$ es también una constante. La derivada de

X

$X$ Simplifica a 1, y el término desaparece. Los pasos son los siguientes:

\ln y = X \ln a

$ln y = x ln a$

D D X \ln y = D D X X \ln a

${ frac {d} {dx}} ln y = { frac {d} {dx}} x LN A$

\frac{1}{y} D y D X = \ln a D D X X

${ frac {1} {y}} { frac {dy} {dx}} = ln a { frac {d} {dx}} x$

\frac{1}{y} D y D X = \ln a * 1

${ frac {1} {y}} { frac {dy} {dx}} = ln a * 1$

\frac{1}{y} D y D X = \ln a

${ frac {1} {y}} { frac {dy} {dx}} = ln A$

5. Simplifica para resolver para el derivado. Multiplica ambos lados por y para aislar el derivado. Usando pasos básicos de álgebra, multiplica ambos lados de esta ecuación por

y

$y$ . Esto aislará el derivado de

y

$y$ en el lado izquierdo de la ecuación. Luego recuerda que

y = a X

$y = a ^ {x}$ , Así que sustituya ese valor en el lado derecho de la ecuación. Los pasos se ven así:

\frac{1}{y} D y D X = \ln a

${ frac {1} {y}} { frac {dy} {dx}} = ln a$

D y D X = y \ln a

${ frac {dy} {dx}} = y ln a$

D y D X = a^{X} \ln a

${ frac {dy} {dx}} = a ^ {x} ln a$

6. Interpretar el resultado final. Recordando que la función original fue la función exponencial

y = a X

$y = a ^ {x}$ , Esta solución muestra que la derivada de la función exponencial general es

a X \ln a

$a ^ {x} ln a$ .

Esto se puede ampliar por cualquier valor de

a

$a$ , Como en los siguientes ejemplos:

D D X 2^{X} = 2^{X} \ln 2

${ frac {d} {dx}} 2 ^ {x} = 2 ^ {x} = 2 ^ {x} ln 2$

D D X 3^{X} = 3^{X} \ln 3

${ frac {d} {dx}} 3 ^ {x} = 3 ^ {x} = 3 ^ {x} ln 3$

D D X 10^{X} = 10^{X} \ln 10

${ frac {d} {dx}} 10 ^ {x} = 10 ^ {x} = 10 ^ {x} ln 10$

Parte 2 de 4:

Extendiendo la prueba para el derivado de e

1. Elige el ejemplo especial. La sección anterior mostró cómo diferenciar el caso general de una función exponencial con cualquier constante que la base. A continuación, seleccione el caso especial donde la base es la constante exponencial

mi

$mi$ .

$mi$ $mi$ es la constante matemática que es aproximadamente igual a 2.718.
Para esta derivación, seleccione la función especial $y = mi X$ $y = e ^ {x}$ .

2. Use la prueba de la función de función exponencial general derivada. Recuperar, desde la sección anterior, que la derivada de una función exponencial general

a X

$a ^ {x}$ es

a X \ln a

$a ^ {x} ln a$ . Aplica este resultado a la función especial

mi X

$e ^ {x}$ como sigue:

y = mi X

$y = e ^ {x}$

D y D X = D D X {mi}^{X}

${ frac {dy} {dx}} = { frac {d} {dx}} e ^ {x}$

D y D X = {mi}^{X} \ln mi

${ frac {dy} {dx}} = e ^ {x} ln e$

3. Simplifica el resultado. Recuerde que el logaritmo natural se basa en la constante especial

mi

$mi$ . Por lo tanto, el logaritmo natural de

mi

$mi$ es solo 1. Esto simplifica el resultado derivado de la siguiente manera:

D y D X = {mi}^{X} \ln mi

${ frac {dy} {dx}} = e ^ {x} ln e$

D y D X = {mi}^{X} * 1

${ frac {dy} {dx}} = e ^ {x} * 1$

D y D X = {mi}^{X}

${ frac {dy} {dx}} = e ^ {x}$

4. Interpretar el resultado final. Esta prueba conduce al caso especial que la derivada de la función

mi X

$e ^ {x}$ es esa misma función. Por lo tanto:

D D X {mi}^{X} = {mi}^{X}

${ frac {d} {dx}} e ^ {x} = e ^ {x}$

Parte 3 de 4:

Encontrar la derivada de E con un exponente funcional

1. Defina tu función. Para este ejemplo, encontrará la derivada general de las funciones que tienen

mi

$mi$ elevado a un exponente, cuando el exponente en sí es una función de

X

$X$ .

Como ejemplo, considere la función $y = mi 2 X + 3$ $y = e ^ {{2x + 3}}$ .

2. Definir la variable U { mostrarstyle u} $U$ . Esta solución va a involucrar la cadena regla de derivados. Recuerde que la regla de la cadena se aplica cuando tiene una función,

U (X)

$u (x)$ anidado dentro de otro,

F (X)

$f (x)$ , Como tienes aquí. La regla de la cadena dice:

D y D X = D y D U * D U D X

${ frac {dy} {dx}} = { frac {dy} {du}} * { frac {du} {dx}}$

En resumen, definirá el exponente como una función separada

U (X)

$u (x)$ .

Para este ejemplo, el exponente es la función anidada

U (X)

$u (x)$ . Así, para este ejemplo:

y = mi U

$y = e ^ {u}$ , y

U = 2 X + 3

$u = 2x + 3$

3. Aplicar la regla de la cadena. La regla de la cadena requiere que encuentres los derivados de ambas funciones

y

$y$ y

U

$U$ . El derivado resultante es entonces el producto de esos dos.

Los dos derivados separados son:

D y D U = D D U {mi}^{U} = {mi}^{U}

${ DisplayStyle { frac {dy} {du}} = { frac} {d} {du}} e ^ {u} = e ^ {u}}$ . (Recuerda que la derivada de

mi X

$e ^ {x}$ es

mi X

$e ^ {x}$ .)

D U D X = D D X (2 X + 3) = 2

${ frac {du} {dx}} = { frac {d} {dx}} (2x + 3) = 2$

Después de encontrar los dos derivados separados, combínelos para encontrar la derivada de la función original:

D y D X = D y D U * D U D X

${ frac {dy} {dx}} = { frac {dy} {du}} * { frac {du} {dx}}$

D D X {mi}^{2 X + 3} = {mi}^{(2 X + 3)} * 2 = 2 {mi}^{(2 X + 3)}

${ frac {d} {dx}} e ^ {{2x + 3}} = e ^ {{(2x + 3)}} * 2 = 2e ^ {{(2x + 3)}}$

4. Practica otro ejemplo de mi { mostrarstyle e} $mi$ con un exponente funcional. Seleccione otro ejemplo,

y = mi pecado X

$y = e ^ {{ sin x}}}}$ .

Definir la función anidada. En este caso,

U = pecado X

$u = sin x$ .

Encuentra los derivados de las funciones

y

$y$ y

U

$U$ .

D y D U = {mi}^{U}

${ frac {dy} {du}} = e ^ {u}$

D U D X = \cos X

${ frac {du} {dx}} = cos x$

Combine utilizando la regla de la cadena:

y = mi pecado X

$y = e ^ {{ sin x}}}}$

D y D X = D y D U * D U D X

${ frac {dy} {dx}} = { frac {dy} {du}} * { frac {du} {dx}}$

D D X {mi}^{pecado X} = {mi}^{U} * \cos X = {mi}^{pecado X} \cos X

${ frac {d} {dx}} e ^ {{ sin x}} = e ^ {u} * cos x = e ^ {{ sin x}} cos x$

Parte 4 de 4:

Encontrar el derivado de x

1. Definir la función. Para este ejemplo especial, a veces se llama "Torre de potencia", elija la función tal que:

$y = X X$ $y = x ^ {x}$

2. Encuentra el logaritmo natural de cada lado. Como antes, la solución aquí comienza con el logaritmo natural de cada lado de la ecuación:

\ln y = \ln (X X)

$ln y = ln (x ^ {x})$

\ln y = X \ln X

$ln y = x ln x$

3. Tomar el derivado de cada lado de la ecuación. En el lado derecho de esta ecuación, deberá aplicar la regla de los derivados del producto. Recuerde que la regla del producto establece que si