Cómo encontrar el área de un pentágono regular

Un pentágono es un polígono con cinco lados rectos. Casi todos los problemas que encontrarás en la clase de matemáticas cubrirán los pentágonos regulares, con cinco lados iguales. Hay dos formas comunes de encontrar el área, dependiendo de la cantidad de información que tenga.

Pasos

Método 1 de 3:
Encontrar el área desde la longitud lateral y el apotem
  1. Imagen titulada Encuentre el área de un Pentágono Regular Paso 1
1. Comience con la longitud lateral y el apotem. Este método funciona para pentágonos regulares, con cinco lados iguales. Además de la longitud lateral, necesitarás el "apotema" del pentágono. El Apothem es la línea desde el centro del Pentágono hasta un lado, cruzando el lado a un ángulo recto de 90º.
  • No confunda el Apothem con el radio, lo que toca una esquina (vértice) en lugar de un punto medio. Si solo conoce la longitud lateral y el radio, salte al siguiente método.
  • Usaremos un ejemplo del Pentágono con longitud lateral 3 unidades y apotem 2 unidades.
  • Encuentra el área de un Pentágono Regular Paso 2
    2. Divide el Pentágono en cinco triángulos. Dibuja cinco líneas desde el centro del Pentágono, lo que lleva a cada vértice (esquina). Ahora tienes cinco triángulos.
  • Imagen titulada Encuentre el área de un Pentágono Regular Paso 3
    3. Calcular el área de un triángulo. Cada triángulo tiene un base igual al lado del pentágono. También tiene un altura igual al apotem del pentágono. (Recuerde, la altura de un triángulo se extiende desde un vértice hasta el lado opuesto, en ángulo recto.) Para encontrar el área de cualquier triángulo, simplemente calcule ½ x base x altura.
  • En nuestro ejemplo, área de triángulo = ½ x 3 x 2 = 3 unidades cuadradas.
  • Imagen titulada Encuentre el área de un Pentágono Regular Paso 4
    4. Multiplica por cinco para encontrar el área total. Hemos dividido al Pentágono en cinco triángulos iguales. Para encontrar el área total, simplemente multiplica el área de un triángulo por cinco.
  • En nuestro ejemplo, A (Pentágono total) = 5 x A (triángulo) = 5 x 3 = 15 unidades cuadradas.
    • Método 2 de 3:
    Encontrar el área desde la longitud lateral
    1. Imagen titulada Encuentre el área de un Pentágono Regular Paso 5
    1. Comience con solo la longitud lateral. Este método solo funciona para pentágonos regulares, que tienen cinco lados de la misma longitud.
    • En este ejemplo, usaremos un Pentágono con longitud lateral 7 unidades.
  • Imagen titulada Encuentre el área de un Pentágono regular Paso 6
    2. Divide el Pentágono en cinco triángulos. Dibuja una línea desde el centro del Pentágono a cualquier vértice. Repetir esto para cada vértice. Ahora tienes cinco triángulos, cada uno del mismo tamaño.
  • Imagen titulada Encuentra el área de un PETÓN regular PETON 7
    3. Divide un triángulo por la mitad. Dibuja una línea desde el centro del Pentágono hasta la base de un triángulo. Esta línea debe golpear la base en un ángulo derecho de 90º, dividiendo el triángulo en dos triángulos iguales y iguales.
  • Encuentra la zona de un Pentágono Regular Paso 8
    4. Etiqueta uno de los triángulos más pequeños. Ya podemos etiquetar un lado y un ángulo del triángulo más pequeño:
  • La base del triángulo es ½ lado del pentágono. En nuestro ejemplo, esto es ½ x 7 = 3.5 unidades.
  • La ángulo En el centro del Pentágono siempre es 36º. (Comenzando con un centro completo de 360º, podría dividirlo en 10 de estos triángulos más pequeños. 360 ÷ 10 = 36, por lo que el ángulo en un triángulo es 36º.)
  • Imagen titulada Encuentre el área de un Pentágono regular Paso 9
    5. Calcular la altura del triángulo. La altura De este triángulo es el lado de los ángulos rectos hasta el borde del Pentágono, lo que lleva al centro. Nosotros podemos usar trigonometría inicial Para encontrar la longitud de este lado:
  • En un triángulo de ángulo recto, el tangente de un ángulo es igual a la longitud del lado opuesto, dividido por la longitud del lado adyacente.
  • El lado opuesto al ángulo 36º es la base del triángulo (la mitad del lado del Pentágono). El lado adyacente al ángulo 36º es la altura del triángulo.
  • Tan (36º) = opuesto / adyacente
  • En nuestro ejemplo, bronceado (36º) = 3.5 / altura
  • Altura X Tan (36º) = 3.5
  • Altura = 3.5 / Tan (36º)
  • Altura = (sobre) 4.8 unidades.
  • Imagen titulada Encuentre el área de un Pentágono Regular Paso 10
    6
    Encuentra el área del triángulo. El área de un triángulo es igual a la mitad de la base x la altura. (A = ½bh.) Ahora que conoce la altura, enchufe estos valores para encontrar el área de su pequeño triángulo.
  • En nuestro ejemplo, área de triángulo pequeño = ½bh = ½ (3.5) (4.8) = 8.4 unidades cuadradas.
  • Imagen titulada Encuentre el área de un Pentágono regular Paso 11
    7. Multiplica para encontrar el área del Pentágono. Uno de estos triángulos más pequeños cubre 1/10 del área del Pentágono. Para encontrar el área total, multiplique el área del triángulo más pequeño por 10.
  • En nuestro ejemplo, el área de todo el Pentágono = 8.4 x 10 = 84 unidades cuadradas.
    • Método 3 de 3:
    Usando una fórmula
    1. Imagen titulada Encuentre el área de un Pentágono Regular Paso 12
    1. Usa el perímetro y el apotem. El Apothem es una línea desde el centro de un Pentágono, que golpea un lado en ángulo recto. Si se le da su longitud, puede usar esta fórmula fácil
    • Área de un pentágono regular = Pensilvania/ 2, donde pag = el perímetro y a = el apothem.
    • Si no conoce el perímetro, calcule desde la longitud lateral: P = 5S, donde S es la longitud lateral.
  • Imagen titulada Encuentre el área de un Pentágono Regular Paso 13
    2. Usar la longitud lateral. Si solo conoce la longitud lateral, use la siguiente fórmula:
  • Área de un pentágono regular = (5s) / (4tan (36º)), donde s = longitud lateral.
  • Tan (36º) = √ (5-2√5). Así que si su calculadora no tiene un "broncearse" Función, use el área de fórmula = (5s) / (4√ (5-2√5)).
  • Imagen titulada Buscar el área de un Pentágono Regular Paso 14
    3. Elija una fórmula que utilice solo radio. Incluso puedes encontrar el área si solo conoces el radio. Utilice esta fórmula:
  • Área de un Pentágono Regular = (5/2)rpecado (72º), donde r es el radio.

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    Consejos

    Los ejemplos dados aquí usan valores redondeados para hacer que las matemáticas sean más sencillas. Si mide un polígono real con la longitud lateral dada, obtendrá resultados ligeramente diferentes para las otras longitudes y área.
  • Pentágonos irregulares, o pentágonos con lados desiguales, son más difíciles de estudiar. El mejor enfoque es generalmente para dividir el Pentágono en triángulos, y sumar el área de cada triángulo. También puede necesitar dibujar una forma más grande alrededor del Pentágono, calcule su área y reste el área del espacio adicional.
  • Si es posible, use tanto un método geométrico como un método de fórmula, y compare los resultados para confirmar que tiene la respuesta correcta. Puede obtener respuestas ligeramente diferentes si ingresa a la fórmula de una vez (ya que no redondeará en el camino), pero deberían estar muy cerca.
  • Las fórmulas se derivan de métodos geométricos, similares a los descritos aquí. A ver si puedes averiguar cómo llegar con ellos. La fórmula del radio es más difícil de derivar que las otras (sugerencia: necesitará la identidad de doble ángulo).
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