3 maneras de factor de ecuaciones algebraicas

En matemáticas, factorización es el acto de encontrar los números o expresiones que se multiplican para hacer un número dado o una ecuación. El factoraje es una habilidad útil para aprender con el fin de resolver problemas de álgebra básica: la capacidad de factor competente es casi esencial cuando se trata de ecuaciones cuadráticas y otras formas de polinomios. El factoring se puede utilizar para simplificar las expresiones algebraicas para que la resolución sea más sencilla. El factoraje puede incluso darle la capacidad de eliminar ciertas respuestas posibles mucho más rápidamente de lo que podría resolverse manualmente.

Pasos

Método 1 de 3:

Números de factorización y expresiones algebraicas básicas

1. Comprenda la definición de factoring cuando se aplica a números individuales. El factoring es conceptualmente simple, pero, en la práctica, puede resultar un desafío cuando se aplica a las ecuaciones complejas. Debido a esto, es más fácil acercarse al concepto de factoring al comenzar con números simples, luego pasar a las ecuaciones simples antes de finalmente finalizar a aplicaciones más avanzadas. Un número dado factores Son los números que se multiplican para dar ese número. Por ejemplo, los factores de 12 son 1, 12, 2, 6, 3 y 4, porque 1 × 12, 2 × 6 y 3 × 4 todos iguales 12.

Otra forma de pensar de esto es que los factores de un número dado son los números por los cuales es divisible.
¿Puedes encontrar todos los factores del número 60?? Utilizamos el número 60 para una amplia variedad de propósitos (minutos en una hora, segundos en un minuto, etc.) Porque es uniformemente divisible por una gama bastante amplia de números.

Los factores de 60 son 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 y 60.

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2. Comprender que las expresiones variables también pueden ser factorizadas. Así como los números solitarios se pueden factorizar, también se pueden factorizar las variables con los coeficientes numéricos. Para hacer esto, simplemente encuentre los factores del coeficiente de la variable. Saber cómo factorizar las variables es útil para simplificar las ecuaciones algebraicas que las variables son parte de.

Por ejemplo, la variable 12x se puede escribir como un producto de los factores de 12 y X. Podemos escribir 12x como 3 (4x), 2 (6x), etc., Usar los factores de 12 son los mejores para nuestros propósitos.

Incluso podemos ir tan lejos como para factorizar 12x varias veces. En otras palabras, no tenemos que detenernos con 3 (4x) o 2 (6x): podemos factorizar 4x y 6x para dar 3 (2 (2x) y 2 (3 (2x), respectivamente. Obviamente, estas dos expresiones son iguales.

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3. Aplique la propiedad distributiva de la multiplicación a las ecuaciones algebraicas con factor. Usando su conocimiento de cómo factorizar los números y las variables solitarias con coeficientes, puede simplificar las ecuaciones algebraicas simples al encontrar factores que los números y las variables en una ecuación algebraica tienen en común. Por lo general, para hacer que la ecuación sea lo más simple posible, intentamos buscar el máximo común divisor. Este proceso de simplificación es posible debido a la propiedad distributiva de la multiplicación, que establece que para cualquier número A, B y C, A (B + C) = AB + AC.

Probemos un problema de ejemplo. Para factorizar la ecuación algebraica 12 x + 6, primero, intentemos encontrar el mayor comodín de 12x y 6. 6 es el número más grande que se divide uniformemente en 12x y 6, por lo que podemos simplificar la ecuación a 6 (2x + 1).

Este proceso también se aplica a las ecuaciones con negativos y fracciones. x / 2 + 4, por ejemplo, se puede simplificar a 1/2 (x + 8), y -7x + -21 se puede factorizar a -7 (x + 3).

Método 2 de 3:

Factorización de ecuaciones cuadráticas

1. Asegúrese de que la ecuación esté en forma cuadrática (AX + BX + C = 0). Las ecuaciones cuadráticas son del formulario AX + BX + C = 0, donde A, B y C son constantes numéricas y no es igual a 0 (tenga en cuenta que un lata igual 1 o -1). Si tiene una ecuación que contiene una variable (x) que tiene uno o más términos de X a la segunda potencia, generalmente puede cambiar los términos en la ecuación alrededor del uso de las operaciones algebraicas básicas para obtener 0 en un lado del signo y el hacha. etc. Por otro lado.

Por ejemplo, consideremos la ecuación algebraica. 5x + 7x - 9 = 4x + x - 18 se puede simplificar a x + 6x + 9 = 0, que está en la forma cuadrática.
Ecuaciones con mayores poderes de x, como x, x, etc. no pueden ser ecuaciones cuadráticas. Son ecuaciones cúbicas, ecuaciones quardicas, etc., a menos que la ecuación pueda simplificarse para eliminar estos términos de X por encima del poder de 2.

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2. En ecuaciones cuadráticas donde A = 1, factor a (x + d) (x + e), donde d × e = c y d + e = b. Si su ecuación cuadrática está en la forma x + bx + c = 0 (en otras palabras, si el coeficiente del término x = 1), es posible (pero no garantizado) que se puede usar un acceso directo relativamente simple para factorizar al ecuación. Encuentra dos números que ambos se multiplican para hacer C y Añadir a make b. Una vez que encuentre estos dos números D y E, colóquelos en la siguiente expresión: (x + d) (x + e). Estos dos términos, cuando se multiplican juntos, producen su ecuación cuadrática, en otras palabras, son los factores de su ecuación cuadrática.

Por ejemplo, consideremos la ecuación cuadrática x + 5x + 6 = 0. 3 y 2 se multiplican juntos para hacer 6 y también sumarse para hacer 5, por lo que podemos simplificar esta ecuación a (x + 3) (x + 2).

Existen ligeras variaciones en este atajo básico para variaciones leves en la ecuación en sí:

Si la ecuación cuadrática está en el formulario X-BX + C, su respuesta está en este formulario: (x - _) (x - _).

Si está en el formulario X + BX + C, su respuesta se ve así: (x + _) (x + _).

Si está en el formulario X-BX-C, usted responde está en el formulario (x + _) (x - _).

Nota: Los números en los espacios en blanco pueden ser fracciones o decimales. Por ejemplo, la ecuación x + (21/2) x + 5 = 0 factores a (x + 10) (x + 1/2).

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3. Si es posible, factor por inspección. Lo creo o no, para ecuaciones cuadráticas no complicadas, uno de los medios aceptados de factoring es simplemente examinar el problema, luego considere posibles respuestas hasta que encuentre la correcta. Esto también se conoce como factoring por inspección. Si la ecuación está en el formulario AX + BX + C y A>1, su respuesta factorizada estará en el formulario (DX +/- _) (ex +/- _), donde D y E son constantes numéricos distintivos que se multiplican para hacer un. D o E (o ambos) lata Sé el número 1, aunque esto no es necesariamente así. Si ambos son 1, esencialmente ha usado el acceso directo descrito anteriormente.

Consideremos un problema de ejemplo. 3x - 8x + 4 al principio parece intimidante. Sin embargo, una vez que nos damos cuenta de que 3 solo tiene dos factores (3 y 1), se vuelve más fácil, porque sabemos que nuestra respuesta debe estar en el formulario (3x +/- _) (x +/- _). En este caso, agregar un A -2 a ambos espacios en blanco le da la respuesta correcta. -2 × 3x = -6x y -2 × x = -2x. -6x y -2x Añadir a -8x. -2 × -2 = 4, por lo que podemos ver que los términos factorizados entre paréntesis se multiplican para convertirse en la ecuación original.

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4. Resolver completando la plaza. En algunos casos, las ecuaciones cuadráticas se pueden factorizar de manera rápida y fácil al utilizar una identidad algebraica especial. Cualquier ecuación cuadrática de la forma x + 2xh + h = (x + h). Entonces, si, en su ecuación, su valor B es el doble de la raíz cuadrada de su valor C, su ecuación se puede factorizar a (x + (Sqrt (C)))).

Por ejemplo, la ecuación x + 6x + 9 se ajusta a este formulario. 3 es 9 y 3 × 2 es 6. Entonces, sabemos que la forma factorizada de esta ecuación es (x + 3) (x + 3), o (x + 3).

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5. Usar factores para resolver ecuaciones cuadráticas. Independientemente de cómo se adapte a su expresión cuadrática, una vez que se facture, puede encontrar posibles respuestas para el valor de X al configurar cada factor igual a cero y resolver. Dado que está buscando valores de X que hacen que su ecuación sea igual a cero, un valor de X que hace que cualquiera de sus factores sea igual de cero es una posible respuesta para su ecuación cuadrática.

Volvamos a la ecuación x + 5x + 6 = 0. Esta ecuación facturada (x + 3) (x + 2) = 0. Si alguno de los factores es igual a 0, toda la ecuación es igual a 0, por lo que nuestras posibles respuestas para X son los números que hacen (x + 3) y (x + 2) igual a 0. Estos números son -3 y -2, respectivamente.

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6. Revisa tus respuestas: algunos de ellos pueden ser extraños! Cuando haya encontrado sus posibles respuestas para X, vuelva a enchufarlas a su ecuación original para ver si son válidas. A veces, las respuestas que encuentres no hacer que la ecuación original sea igual a cero cuando se enciende de nuevo en. Llamamos estas respuestas extraño y ignorarlos.

Vamos a enchufar -2 y -3 intox + 5x + 6 = 0. Primero, -2:

(-2) + 5 (-2) + 6 = 0

4 + -10 + 6 = 0

0 = 0. Esto es correcto, por lo que -2 es una respuesta válida.

Ahora, intentemos -3:

(-3) + 5 (-3) + 6 = 0

9 + -15 + 6 = 0

0 = 0. Esto también es correcto, por lo que -3 también es una respuesta válida.

Método 3 de 3:

Factoring Otras formas de ecuaciones

1. Si la ecuación está en el formulario A-B, tenga en cuenta (A + B) (A-B). Ecuaciones con dos variables factor de manera diferente a la cuadratura básica. Para cualquier ecuación A-B donde A y B no sean iguales 0, los factores de la ecuación a (A + B) (A-B).

Por ejemplo, la ecuación 9x - 4y = (3x + 2y) (3x - 2y).

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2. Si la ecuación está en el formulario A + 2AB + B, tenga en cuenta (A + B). Tenga en cuenta que, si el trinomio está en el formulario A-2AB + B, la forma factorizada es ligeramente diferente: (A-B).

La ecuación 4x + 8xy + 4y puede ser reescrita como 4x + (2 × 2 × 2) xy + 4y. Ahora podemos ver que está en la forma correcta, por lo que podemos decir con confianza que nuestros factores de ecuación a (2x + 2y)

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3. Si la ecuación está en el formulario A-B, factorátelo a (A-B) (A + AB + B). Finalmente, se hace mencionar que los cúbicos e incluso las ecuaciones de orden superior pueden ser factorizadas, aunque el proceso de factorización rápidamente se vuelve prohibitivamente complicado.

Por ejemplo, 8x - 27y factores a (2x - 3y) (4x + ((2x) (3Y) + 9Y)

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Consejos

A-B es factorable, A + B no es factorable.

Recuerda cómo factorizar las constantes: podría ayudar.

Tenga cuidado con las fracciones en el proceso de factoring y trabaje con ellos correctamente y con cuidado.

Si tiene un trinomio en el formulario X + BX + (B / 2), la forma factorizada es (x + (b / 2)). (Puede que tenga esta situación mientras complete la plaza.)

Recuerde que A0 = 0 (propiedad cero-producto).

Cosas que necesitarás

Papel
Lápiz
Libro de matemáticas (si es necesario)