Cómo encontrar el dominio y el rango de una función: 14 pasos

Cada función contiene dos tipos de variables: variables independientes y variables dependientes, cuyos valores literalmente "dependen" en las variables independientes. Por ejemplo, en la función y = F(X) = 2X + y, X es independiente y y es dependiente (en otras palabras, y es una función de X). Los valores válidos para una variable independiente dada X se llaman colectivamente el "dominio."Los valores válidos para una variable dependiente determinada y se llaman colectivamente el "rango."

Pasos

Parte 1 de 3:

Encontrar el dominio de una función

1. Determine el tipo de función con la que está trabajando. El dominio de la función es todos los valores X (eje horizontal) que le darán una salida válida con valor Y. La ecuación de la función puede ser cuadrática, una fracción o contener raíces. Para calcular el dominio de la función, primero debe evaluar los términos dentro de la ecuación.

Una función cuadrática tiene el formulario AX + BX + C: F (x) = 2x + 3x + 4
Ejemplos de funciones con fracciones incluyen: F (x) = (/ /_X), f (x) = /_{(x - 1)}, etc.
Las funciones con una raíz incluyen: f (x) = √x, f (x) = √ (x + 1), f (x) = √-x, etc.

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2. Escribe el dominio con la notación adecuada. Escribir el dominio de una función implica el uso de ambos soportes [,] y paréntesis (,). Utiliza un soporte cuando el número se incluye en el dominio y use un paréntesis cuando el dominio no incluye el número. La carta U Indica una unión que conecta partes de un dominio que puede estar separado por un espacio.

Por ejemplo, un dominio de [-2, 10) u (10, 2] Incluye -2 y 2, pero no incluye el número 10.

Siempre use paréntesis si está utilizando el símbolo infinito, ∞. Esto se debe a que el infinito es un concepto y no un número.

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3. Dibuja un gráfico de la ecuación cuadrática. Las ecuaciones cuadráticas hacen un gráfico parabólico que apunta hacia arriba o hacia abajo. Dado que la parábola continuará infinitamente hacia afuera en el eje X, el dominio de la función más cuadrática es todos los números reales. Dicho de otra manera, una ecuación cuadrática abarca todos los valores X en la línea numérica, lo que hace su dominio R (El símbolo para todos los números reales).

Para obtener una idea de la función, elija cualquier valor de X y enchúfelo en la función. La solución de la función con este valor X emitirá un valor Y. Estos valores X- y Y son una coordenada (x, y) del gráfico de la función.

Parcela esta coordenada y repite el proceso con otro valor X.

Considerar algunos valores de esta manera debe darle una idea general de la forma de la función cuadrática.

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4. Establezca el denominador igual a cero, si es una fracción. Al trabajar con una fracción, nunca puedes dividir por cero. Al configurar el denominador igual a cero y resolver para X, puede calcular los valores que se excluirán en la función.

Por ejemplo: Identifique el dominio de la función F (x) = /_{(x - 1)}.

El denominador de esta función es (x - 1).

Configurarlo igual a cero y resolver para x: x - 1 = 0, x = 1.

Escriba el dominio: el dominio de esta función no puede incluir 1, pero incluye todos los números reales, excepto 1-, por lo tanto, el dominio es (-∞, 1) U (1, ∞).

(-∞, 1) U (1, ∞) se puede leer como el conjunto de todos los números reales que excluyen 1.El símbolo infinito, ∞, representa todos los números reales. En este caso, todos los números reales superiores a 1 y menos de uno están incluidos en el dominio.

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5. Establezca los términos dentro del radical para ser mayor o igual a cero, si hay una función raíz. No puede tomar la raíz cuadrada de un número negativo, por lo tanto, cualquier valor X que conduce a un número negativo debe excluirse del dominio de esa función.

Por ejemplo: identifique el dominio de la función f (x) = √ (x + 3).

Los términos dentro del radical son (x + 3).

Establecerlos mayores o iguales a cero: (x + 3) ≥ 0.

Resuelve para x: x ≥ -3.

El dominio de esta función incluye todos los números reales mayores o iguales a -3, por lo tanto, el dominio es [-3, ∞).

Parte 2 de 3:

Encontrar el rango de una función cuadrática

1. Confirme que tiene una función cuadrática. Una función cuadrática tiene el formulario AX + BX + C: F (x) = 2x + 3x + 4. La forma de una función cuadrática en un gráfico es parábola apuntando hacia arriba o hacia abajo. Hay diferentes métodos para calcular el rango de una función dependiendo del tipo con el que está trabajando.

La forma más fácil de identificar el rango de otras funciones, como las funciones de raíz y fracción, es dibujar la gráfica de la función con una calculadora de gráficos.

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2. Encuentra el valor X del vértice de la función. El vértice de una función cuadrática es la punta de la parábola. Recuerde, una ecuación cuadrática es del formulario AX + BX + C. Para encontrar la coordenada X use la ecuación x = -b / 2a. Esta ecuación es un derivado de la función cuadrática básica que representa la ecuación con una pendiente cero (en el vértice del gráfico, la pendiente de la función es cero).

Por ejemplo, encuentre el rango de 3x + 6x -2.

Calcule la coordenada X de VERTEX: X = -B / 2A = -6 / (2 * 3) = -1

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3. Calcule el valor Y del vértice de la función. Conecte la coordenada X a la función para calcular el valor Y correspondiente del vértice. Este valor Y denota el borde de su rango para la función.

Calcule Y-Coordenate: Y = 3x + 6x - 2 = 3 (-1) + 6 (-1) -2 = -5.

El vértice de esta función es (-1, -5).

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4. Determine la dirección de la parábola que conecta al menos un valor X más. Elija cualquier otro valor X y enchúfelo a la función para calcular el valor Y correspondiente. Si el valor Y está por encima del vértice, la parábola continúa hasta + ∞. Si el valor Y está debajo del vértice, la parábola continúa -∞.

Use el valor X -2: y = 3x + 6x - 2 = y = 3 (-2) + 6 (-2) - 2 = 12 -12 -2 = -2.

Esto produce la coordenada (-2, -2).

Esta coordenada le indica que la parábola continúa por encima del vértice (-1, -5), por lo tanto, el rango abarca todos los valores Y por encima de -5.

El rango de esta función es [-5, ∞)

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5. Escribe el rango con la notación adecuada. Al igual que el dominio, el rango está escrito con la misma notación. Use un soporte cuando el número se incluye en el dominio y use un paréntesis cuando el dominio no incluye el número. La carta U Indica una unión que conecta partes de un dominio que puede estar separado por un espacio.

Por ejemplo, un rango de [-2, 10) u (10, 2] Incluye -2 y 2, pero no incluye el número 10.

Siempre use paréntesis si está utilizando el símbolo infinito, ∞.

Parte 3 de 3:

Encontrar el rango de una función gráficamente

1. Gráfica la función. A menudo, es más fácil determinar el rango de una función simplemente gránela. Muchas funciones de raíz tienen un rango de (-∞, 0] o [0, + ∞) porque el vértice de la parábola lateral está en el eje horizontal, x. En este caso, la función abarca todos los valores y positivos y si la parábola sube, o todos los valores Y negativos si la parábola baja. Las funciones de fracción tendrán asintotes que definen el rango.

Algunas funciones de la raíz comenzarán por encima o por debajo del eje X. En este caso, el rango está determinado por el punto que comienza la función raíz. Si la parábola comienza en Y = -4 y sube, entonces el rango es [-4, + ∞).
La forma más fácil de gráficos es usar un programa de gráficos o una calculadora de gráficos.
Si no tiene una calculadora de gráficos, puede dibujar un boceto aproximado de un gráfico conectando los valores de X a la función y obteniendo los valores Y correspondientes. Trazado estas coordenadas en la gráfica para tener una idea de la forma de la gráfica.

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2. Encuentra el mínimo de la función. Una vez que haya graficado la función, debería poder ver claramente el punto más bajo del gráfico. Si no hay un mínimo obvio, sepa que algunas funciones continuarán en -∞.

Una función de fracción incluirá todos los puntos excepto los de la asintota. A menudo tienen rangos como (-∞, 6) u (6, ∞).

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3. Determinar el máximo de la función. De nuevo, después de la gráfica, debe poder identificar el punto máximo de la función. Algunas funciones continuarán en + ∞ y, por lo tanto, no tendrán un máximo.

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4. Escribe el rango con la notación adecuada. Al igual que el dominio, el rango está escrito con la misma notación. Use un soporte cuando el número se incluye en el dominio y use un paréntesis cuando el dominio no incluye el número. La carta U Indica una unión que conecta partes de un dominio que puede estar separado por un espacio.

Por ejemplo, un rango de [-2, 10) u (10, 2] Incluye -2 y 2, pero no incluye el número 10.

Siempre use paréntesis si está utilizando el símbolo infinito, ∞.