3 maneras de encontrar el inverso de una matriz 3x3

Las operaciones inversas se usan comúnmente en álgebra para simplificar lo que podría ser difícil. Por ejemplo, si un problema requiere que se divida por una fracción, puede multiplicarse más fácilmente por su reciprocal. Esta es una operación inversa. De manera similar, dado que no hay operador de división para matrices, debe multiplicarse por la matriz inversa. Cálculo de la inversa de una matriz de 3x3 a mano es un trabajo tedioso, pero vale la pena revisar. También puede encontrar el inverso con una calculadora de gráficos avanzados.

Pasos

Método 1 de 3:

Creando la matriz adjugada para encontrar la matriz inversa

1. Compruebe el determinante de la matriz. Necesitas calcular el determinante de la matriz como un paso inicial. Si el determinante es 0, entonces su trabajo está terminado, porque la matriz no tiene inversas. El determinante de la matriz M puede representarse simbólicamente como Det (M).

Para una matriz de 3x3, encuentre el determinante por primera vez
Para revisar la búsqueda del determinante de una matriz, vea Encuentra el determinante de una matriz de 3x3.

Imagen titulada Buscar la inversa de una matriz 3x3 Paso 2

2. Transponer la matriz original. Medios de transposición que reflejan la matriz sobre la diagonal principal, o equivalentemente, intercambiando el elemento (i, j) th y el (j, i) th. Cuando transponga los términos de la matriz, debe ver que la diagonal principal (desde la parte superior izquierda hasta la derecha baja) no se modifica.

Otra forma de pensar en la transposición es que reescribe la primera fila como la primera columna, la fila media se convierte en la columna central, y la tercera fila se convierte en la tercera columna. Observe los elementos de colores en el diagrama de arriba y vea dónde han cambiado los números.

Imagen titulada Buscar la inversa de una matriz 3x3 Paso 3

3. Encuentra el determinante de cada una de las matrices menores de 2x2. Cada artículo de la matriz 3x3 recién transpuesta se asocia con una matriz de 2x2 "menor" correspondiente. Para encontrar la matriz menor correcta para cada término, primero resalte la fila y la columna del término con el que comienza con. Esto debe incluir cinco términos de la matriz. Los cuatro términos restantes conforman la matriz menor.

En el ejemplo que se muestra arriba, si desea la matriz menor del término en la segunda fila, la primera columna, resalta los cinco términos que están en la segunda fila y la primera columna. Los cuatro términos restantes son la matriz menor correspondiente.

Encuentre el determinante de cada matriz menor por multiplicación cruzada de las diagonales y restando, como se muestra.

Para más sobre matrices menores y sus usos, vea Entender lo básico de las matrices.

Imagen titulada Buscar la inversa de una matriz 3x3 Paso 4

4. Crea la matriz de cofactores. Coloque los resultados del paso anterior en una nueva matriz de cofactores al alinear cada determinante de la matriz menor con la posición correspondiente en la matriz original. Por lo tanto, el determinante que calculó a partir del artículo (1,1) de la matriz original entra en posición (1,1). Luego, debe revertir el signo de los términos alternos de esta nueva matriz, siguiendo el patrón de "tabla de ajedrez" que se muestra.

Al asignar señales, el primer elemento de la primera fila mantiene su signo original. El segundo elemento se invierte. El tercer elemento mantiene su signo original. Continuar con el resto de la matriz de esta manera. Tenga en cuenta que los signos (+) o (-) en el diagrama del tablero de ajedrez no sugieren que el término final sea positivo o negativo. Son indicadores de mantener (+) o revertir (-) cualquier signo que el número originalmente tuvo.

Para una revisión de cofactores, ver Entender lo básico de las matrices.

El resultado final de este paso se llama la matriz adjugada del original. Esto se conoce a veces como la matriz adjunta. La matriz adjugate se observa como adj (m).

Imagen titulada Encuentra la inversa de una matriz de 3x3 Paso 5

5. Divide cada término de la matriz adjugada por el determinante. Recuerde el determinante de M que calculó en el primer paso (para verificar que fue posible el inverso). Ahora divide todos los términos de la matriz por ese valor. Coloque el resultado de cada cálculo en el lugar del término original. El resultado es el inverso de la matriz original.

Para la matriz de muestra que se muestra en el diagrama, el determinante es 1. Por lo tanto, dividir cada término de la matriz adjugada da como resultado la propia matriz adjugada. (No siempre serás tan afortunado.)

En lugar de dividir, algunas fuentes representan este paso como multiplicando cada término de M por 1 / Det (M). Matemáticamente, estos son equivalentes.

Método 2 de 3:

Utilizando la reducción lineal de fila para encontrar la matriz inversa

1. Coloque la matriz de identidad a la matriz original. Escriba la matriz original M, dibuje una línea vertical a la derecha, y luego escriba la matriz de identidad a la derecha de eso. Ahora debería tener lo que parece ser una matriz con tres filas de seis columnas cada una.

Recuerde que la matriz de identidad es una matriz especial con 1S en cada posición de la diagonal principal de la parte superior izquierda a la derecha, y 0s en todas las demás posiciones. Para una revisión de la matriz de identidad y sus propiedades, vea Entender lo básico de las matrices.

Imagen titulada Buscar la inversa de una matriz de 3x3 Paso 7

2. Realizar operaciones de reducción lineal de fila. Su objetivo es crear la matriz de identidad en el lado izquierdo de esta matriz recién aumentada. A medida que realiza pasos de reducción de fila a la izquierda, debe realizar constantemente las mismas operaciones a la derecha, que comenzó como su matriz de identidad.

Recuerde que las reducciones de la fila se realizan como una combinación de multiplicación escalar y suma o suministro de fila, para aislar los términos individuales de la matriz. Para una revisión más completa, ver Matrices de reducción de filas.

Imagen titulada Buscar la inversa de una matriz de 3x3 Paso 8

3. Continuar hasta que forme la matriz de identidad. Mantenga la repetición de operaciones de reducción de fila lineal hasta que el lado izquierdo de su matriz aumentada muestre la matriz de identidad (diagonal de 1s, con otros términos 0). Cuando haya alcanzado este punto, el lado derecho de su divisor vertical será el inverso de su matriz original.

Imagen titulada Buscar la inversa de una matriz de 3x3 Paso 9

4. Escribe la matriz inversa. Copie los elementos que aparecen ahora en el lado derecho del divisor vertical como la matriz inversa.

Método 3 de 3:

Usando una calculadora para encontrar la matriz inversa

1. Seleccione una calculadora con capacidades de matriz. Las calculadoras simples de 4 funciones no podrán ayudarlo a encontrar directamente lo inverso. Sin embargo, debido a la naturaleza repetitiva de los cálculos, una calculadora de gráficos avanzados, como el Texas Instruments TI-83 o TI-86, puede reducir enormemente el trabajo.

Imagen titulada Buscar la inversa de una matriz de 3x3 Paso 11

2. Ingrese su matriz en la calculadora. Primero, ingrese la función de matriz de su calculadora presionando la tecla MATRIX, si tiene uno. En las calculadoras de Texas Instruments, es posible que deba presionar 2 Matrix.

Imagen titulada Buscar la inversa de una matriz 3x3 Paso 12

3. Seleccione el submenú Editar. Para llegar al submenú, es posible que deba usar los botones de flecha o elegir la tecla de función apropiada en la parte superior del teclado de su calculadora, dependiendo del diseño de su calculadora.

Imagen titulada Buscar la inversa de una matriz 3x3 Paso 13

4. Seleccione un nombre para su matriz. La mayoría de las calculadoras están equipadas para trabajar en cualquier lugar de 3 a 10 matrices, etiquetadas con letras A a J. Normalmente, solo elige [A] para trabajar con. Pulse la tecla ENTER después de realizar su selección.

Imagen titulada Buscar la inversa de una matriz de 3x3 Paso 14

5. Ingrese las dimensiones de su matriz. Este artículo se está enfocando en las matrices de 3x3. Sin embargo, la calculadora puede manejar tamaños más grandes. Ingrese el número de filas, luego presione ENTER, y luego el número de columnas e ingrese.

Imagen titulada Buscar la inversa de una matriz de 3x3 Paso 15

6. Ingrese cada elemento de la matriz. La pantalla de la calculadora mostrará una matriz. Si previamente estaba trabajando con la función Matrix, la matriz anterior aparecerá en la pantalla. El cursor resaltará el primer elemento de la matriz. Escriba el valor de la matriz que desea resolver, y luego ingrese. El cursor se moverá automáticamente al siguiente elemento de la matriz, sobrescribiendo cualquier número anterior.

Si desea ingresar un número negativo, use el botón negativo de su calculadora (-) y no la tecla menos. La función Matrix no leerá el número correctamente.

Si es necesario, puede usar las teclas de flecha de su calculadora para saltar alrededor de la matriz.

Imagen titulada Buscar la inversa de una matriz de 3x3 Paso 16

7. Deja de salir la función de la matriz. Después de ingresar todos los valores de la matriz, presione la tecla de salida (o 2 quit, si es necesario). Esto le saldrá de la función Matrix y le devolverá a la pantalla principal de la pantalla de su calculadora.

Imagen titulada Buscar la inversa de una matriz de 3x3 Paso 17

8. Use la tecla inversa para encontrar la matriz inversa. Primero, vuelva a abrir la función Matrix y use el botón Nombres para seleccionar la etiqueta Matrix que usó para definir su matriz (probablemente [A]). Luego, presione la tecla inversa de su calculadora,

X - 1

$x ^ {{- 1}}$ . Esto puede requerir utilizando el botón 2, dependiendo de su calculadora. Su pantalla de pantalla debe mostrar

A - 1

$A ^ {{- 1}}$ . Presione ENTER, y la matriz inversa debe aparecer en su pantalla.

No utilice el botón ^ en su calculadora para intentar ingresar a ^ -1 como pulsaciones separadas. La calculadora no entenderá esta operación.

Si recibe un mensaje de error cuando ingresa la clave inversa, es probable que su matriz original no tenga una inversa. Es posible que desee volver y calcular el determinante para averiguarlo.

Imagen titulada Buscar la inversa de una matriz 3x3 Paso 18

9. Convierte tu matriz inversa a las respuestas exactas. El primer cálculo que la calculadora le dará está en forma decimal. Esto no se considera "exacto" para la mayoría de los propósitos. Debe convertir las respuestas decimales a la forma fraccionada, según sea necesario. (Si tiene mucha suerte, todos sus resultados serán enteros, pero esto es raro.)

Su calculadora probablemente tiene una función que convertirá automáticamente los decimales a las fracciones. Por ejemplo, utilizando el TI-86, ingrese la función Matemáticas, luego seleccione Misc, y luego FRAC, e ingrese. Los decimales aparecerán automáticamente como fracciones.

Imagen titulada Calcular el costo total Paso 1

10. La mayoría de las calculadoras de gráficos también tienen llaves de soporte cuadrado (en TI-84, es 2nd + x y 2nd + -) que se pueden usar para escribir una matriz sin usar la función MATRIX. Nota: La calculadora no formará la matriz hasta después de que se haya utilizado la tecla ENTER / Equals (i.mi. Todo será una línea y no es bonita).

Video.

Al utilizar este servicio, se puede compartir información con YouTube.

Consejos

Puede seguir estos pasos para encontrar el inverso de una matriz que contenga no solo números sino también variables, incógnitas o incluso expresiones algebraicas.

Compruebe que su resultado sea preciso, el método que elija, por multiplicar M por m. Debería poder verificar que m * m = m * m = i. I es la matriz de identidad, que consiste en 1S a lo largo de la diagonal principal y 0s en otro lugar. Si no, hiciste un error en algún lugar.

Anote todos sus pasos, ya que es extremadamente difícil encontrar la inversa de una matriz 3x3 en su cabeza.

Existen programas informáticos que funcionan con los inversos de matrices para usted, hasta e incluyendo el tamaño de las matrices de 30x30.

Advertencias

No todas las matrices 3x3 tienen inversos. Si el determinante de la matriz es igual a 0, entonces no tiene una inversa. (Observe que en la fórmula dividimos por Det (M). La división por cero no está definida.)