Cómo crear una junta Apollonian: 10 pasos (con imágenes)

Una junta apoloniana es un tipo de fractal Imagen que se forma a partir de una colección de círculos cada vez más reducidos contenidos en un solo círculo grande. Cada círculo en la junta Apollonian es tangente a los círculos adyacentes, en otras palabras, los círculos en la junta Apollonian hacen contacto en puntos infinitamente pequeños. Nombrado por el Matemático Griego Apollonio de Perga, este tipo de fractal se puede dibujar (a mano o por computadora) al grado razonable de complejidad, formando una imagen hermosa y sorprendente. Vea el paso 1 a continuación para comenzar.

Pasos

Parte 1 de 2:

Entender conceptos clave

Para estar perfectamente claro, si está simplemente interesado en dibujo Una junta apoloniana, no es esencial investigar los principios matemáticos detrás del fractal. Sin embargo, si desea una comprensión más profunda de las juntas Apolonianas, es importante comprender las definiciones de varios conceptos que usaremos al discutirlos.

1. Definir términos clave. Los siguientes términos se utilizan en las instrucciones a continuación:

Junta Apollonian: uno de varios nombres para un tipo de fractal compuesto por una serie de círculos anidados dentro de un círculo grande y tangente a todos los demás cercanos. Estos también son llamados "Círculos de soddy" o "Besos de círculos".
Radio de un círculo: la distancia desde el punto central de un círculo hasta su borde. Generalmente asignado la variable r.
Curvatura de un círculo: la inversa positiva o negativa del radio, o ± 1 / r. La curvatura es positiva cuando se trata de la curvatura exterior del círculo y negativo para la curvatura interna.
Tangente: un término aplicado a líneas, aviones y formas que se intersecan en un punto infinitamente pequeño. En las juntas Apolonianas, esto se refiere al hecho de que cada círculo toca cada círculo cercano en un solo punto. Tenga en cuenta que no hay intersección: las formas tangentes no se superponen.

2. Entiende el teorema de descartes.El teorema de Descartes es una fórmula que es útil para calcular los tamaños de los círculos en una junta Apollonian. Si definimos las curvaturas (1 / r) de cualquiera de los tres círculos como a, B, y C, respectivamente, el teorema afirma que la curvatura del círculo (o círculos) Tangente a los tres, que definiremos como D, es: d = a + b + c ± 2 (SQRT (A × B + B × C + C + C + C + C × A)).

Para nuestros propósitos, generalmente solo usaremos la respuesta que obtenemos al poner un signo más frente a la raíz cuadrada (en otras palabras, ... + 2 (sqrt (...)). Por ahora, es suficiente saber que la forma de resta de la ecuación tiene sus usos en otras tareas relacionadas.

Parte 2 de 2:

Construyendo la junta apolloniana

Las juntas apolonianas toman la forma de hermosos arreglos fractales de los círculos de contracción. Matemáticamente, las juntas apolonianas tienen una complejidad infinita, pero, ya sea que esté utilizando un programa de dibujo de computadora o herramientas de dibujo tradicionales, eventualmente alcanzará un punto en el que es imposible dibujar círculos más pequeños. Tenga en cuenta que cuanto más precisamente dibuje sus círculos, más podrás caber en tu junta.

1. Reúna sus herramientas de dibujo digital o analógico. En los pasos a continuación, haremos nuestra propia junta apoloniana simple. Es posible dibujar juntas apolonianas a mano o en la computadora. En cualquier caso, querrá poder dibujar círculos perfectamente redondos. Esto es bastante importante. Dado que cada círculo en una junta apoloniano es perfectamente tangente a los círculos junto a él, círculos que incluso son un poco falsos "deshacerse de" Tu producto final.

Si dibuja la junta en una computadora, necesitará un programa que le permita dibujar fácilmente los círculos de un radio fijo desde un punto central. GFIG, se puede usar una extensión de dibujo vectorial para el programa de edición de imágenes gratuitas, se puede usar, al igual que una amplia variedad de otros programas de dibujo (consulte la sección de materiales para enlaces relevantes). También probablemente necesite una aplicación de calculadora y un documento de procesador de palabras o un bloc de notas física para tomar notas sobre curvaturas y radii.
Para dibujar la junta a mano, necesitará una calculadora (científica o gráfica sugerida), un lápiz, brújula, regla (preferiblemente una escala con marcas milímetros, papel de gráfico y un bloc de notas para tomar notas.

2. Comience con un círculo grande. Tu primera tarea es fácil, solo dibuja un círculo grande y perfectamente redondo. Cuanto más grande sea el círculo, más complejo puede ser su junta, así que trate de hacer un círculo tan grande como su papel que su papel sea o tan grande como pueda ver fácilmente en una ventana en su programa de dibujo.

3. Crea un círculo más pequeño dentro del original, tangente a un lado. A continuación, dibuje otro círculo dentro de los primeros que es más pequeño que el original, pero aún bastante grande. El tamaño exacto del segundo círculo depende de usted, no hay un tamaño correcto. Sin embargo, para nuestros propósitos, dibujemos nuestro segundo círculo para que alcance exactamente a medio camino a través de nuestro círculo externo grande. En otras palabras, dibujemos nuestro segundo círculo para que su punto central sea el punto medio del radio del círculo grande.

Recuerda que en las juntas apolonianas, todos los círculos que tocan son tangentes entre sí. Si está utilizando una brújula para dibujar sus círculos a mano, vuelva a crear este efecto colocando el punto afilado de la brújula en el punto medio del radio del círculo externo grande, ajustando su lápiz para que sea sólo Toca el borde del círculo grande, luego dibujando tu círculo interno más pequeño.

4. Dibuja un círculo idéntico "enfrente de" el círculo interior más pequeño. A continuación, dibujemos otro círculo frente a nuestro primero. Este círculo debe ser tangente al círculo externo grande y el círculo interno más pequeño, lo que significa que sus dos círculos internos tocarán en el punto medio exacto del círculo externo grande.

5. Aplique el teorema de Descartes para encontrar el tamaño de sus próximos círculos. Vamos a dejar de dibujar por un momento. Ahora que tenemos tres círculos en nuestra junta, podemos usar el teorema de Descartes para encontrar el radio del siguiente círculo que dibujaremos. Recuerda que el teorema de Descartes es d = a + b + c ± 2 (SQRT (A × B + B × C + C + C + C + C × A)), donde A, B, y C son las curvaturas de tus tres círculos tangentes y D es la curvatura del círculo tangente a los tres. Entonces, para encontrar el radio de nuestro próximo círculo, encontremos la curvatura de cada uno de los círculos que tenemos hasta ahora para que podamos encontrar la curvatura del próximo círculo, luego convertir esto a su radio.

Vamos a definir el radio de nuestro círculo exterior como 1. Porque los otros círculos están dentro de este, estamos tratando con su interior curvatura (en lugar de su curvatura exterior), y, en consecuencia, sabemos que su curvatura es negativa. - 1 / r = -1/1 = -1. La curvatura de la gran círculo es -1.

Los radios de los círculos más pequeños son la mitad de lo grande que el círculo grande, o, en otras palabras, 1/2. Dado que estos círculos se tocan entre sí y el círculo grande con su borde exterior, estamos tratando con su exterior curvatura, por lo que sus curvaturas son positivas. 1 / (1/2) = 2. Las curvaturas de los círculos más pequeños son ambos 2.

Ahora, sabemos que A = -1, B = 2, y C = 2 para la ecuación del teorema de nuestra descartes. Vamos a resolver para D:

d = a + b + c ± 2 (SQRT (A × B + B × C + C + C + C + C × A))

d = -1 + 2 + 2 ± 2 (SQRT (-1 × 2 + 2 × 2 + 2 × -1))

d = -1 + 2 + 2 ± 2 (SQRT (-2 + 4 + -2))

d = -1 + 2 + 2 ± 0

d = -1 + 2 + 2

d = 3. La curvatura de nuestro próximo círculo es 3. Desde 3 = 1 / r, el radio de nuestro próximo círculo es 1/3.

Imagen titulada Crear una junta Apollonian Paso 8

6. Crea tu próximo conjunto de círculos. Use el valor del radio que acaba de encontrar para dibujar sus próximos dos círculos. Recuerde que estos serán tangentes a los círculos cuyas curvaturas usaste para A, B y C en el teorema de Descartes. En otras palabras, serán tangentes para los círculos originales y seguros. Para que estos círculos sean tangentes a los tres círculos, deberá dibujarlos en los espacios abiertos en la parte superior e inferior del área dentro de su gran círculo original.

Recuerde que estos radios de los círculos serán iguales a 1/3. Mida 1/3 de vuelta desde el borde del círculo exterior, luego dibuja su nuevo círculo. Debe ser tangente a los tres de los círculos circundantes.

7. Continúe de esta manera para continuar agregando círculos. Porque son fractales, las juntas apolonianas son infinitamente complejas. Esto significa que puede agregar círculos más pequeños y más pequeños al contenido de su corazón. Solo está limitado, sea la precisión de sus herramientas (o, si está utilizando una computadora, la capacidad de su programa de dibujo a "acercarse"). Cada círculo, sin importar cuán pequeño, deba ser tangente a otros tres círculos. Para dibujar cada círculo posterior en su junta, enchufe las curvaturas de los tres círculos, será tangente en el teorema de Descartes. Luego, use su respuesta (que será el radio de su nuevo círculo) para dibujar su nuevo círculo con precisión.

Tenga en cuenta que la junta que hemos elegido para dibujar es simétrico, por lo que el radio de un círculo es el mismo que el círculo correspondiente "a partir de eso". Sin embargo, sepa que no todas las juntas apolonianas son simétricas.

Vamos a abordar un ejemplo más. Digamos que, después de dibujar nuestro último conjunto de círculos, ahora queremos dibujar los círculos que son tangentes a nuestro tercer set, nuestro segundo set y nuestro círculo externo grande. Las curvaturas de estos círculos son 3, 2 y -1, respectivamente. Vamos a enchufar estos números al teorema de Descartes, configure A = -1, B = 2, y C = 3:

d = a + b + c ± 2 (SQRT (A × B + B × C + C + C + C + C × A))

d = -1 + 2 + 3 ± 2 (SQRT (-1 × 2 + 2 × 3 + 3 × -1))

d = -1 + 2 + 3 ± 2 (SQRT (-2 + 6 + -3))

d = -1 + 2 + 3 ± 2 (SQRT (1))

d = -1 + 2 + 3 ± 2

d = 2, 6. Tenemos dos respuestas! Sin embargo, debido a que sabemos que nuestro nuevo círculo será más pequeño que cualquiera de los círculos, es tangente, solo una curvatura de 6 (y por lo tanto un radio de 1/6) tiene sentido.

Nuestra otra respuesta, 2, en realidad se refiere al círculo hipotético en el otro lado del punto tangente de nuestro segundo y tercer círculos. Este círculo es tangente a ambos de estos círculos y al gran círculo exterior, pero interseciría los círculos que ya hemos dibujado, por lo que podemos ignorarlo.

8. Para un desafío, intente hacer una junta apolloniana no simétrica cambiando el tamaño de su segundo círculo. Todas las juntas apolonianas comienzan lo mismo, con un gran círculo exterior que actúa como el borde del fractal. Sin embargo, no hay razón para que su segundo círculo necesariamente posee Tener 1/2 El radio de los primeros, simplemente elegimos hacer esto arriba porque es simple y fácil de entender. Por diversión, intente comenzar una nueva junta con un segundo círculo de un tamaño diferente, esto conducirá a nuevas avenidas de exploración emocionantes.

Después de dibujar su segundo círculo (independientemente de su tamaño), su próximo acto debe ser dibujar uno o más círculos que sean tangentes tanto a él como para el círculo externo grande), tampoco hay una manera correcta de hacerlo. Después de esto, puede usar el teorema de Descartes para determinar los radios de cualquier círculos subsiguientes, como se muestra arriba.

Cómo crear una junta apollonian

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